直列3気筒エンジンの慣性力・偶力

概要

本ページはHTML5でSVGを使用しています。閲覧には、対応したブラウザを使用してください。
JavaScriptでエンジンの各図を動かしていますので、JavaScriptが動作するようにしてください。
以下の直列3気筒4ストロークエンジンについて慣性力及び慣性偶力を解析する。
シリンダは前から1,2,3の順番である。
前から見るとエンジンは右回転である。
点火順序は 1-2-3　とする。
点火間隔は720度/3=240度である。
クランクピンの配置は、下図のとおりである。

角度を入力して指定角度をクリックすると横断図及び右側面図が変化します。
自動回転をクリックするとエンジンが回転します。回転を止めるにはSTOPをクリックします。
右側面図は、1次慣性偶力によるエンジンのすりこ木運動をエミュレートしています。

※θはクランクシャフトを中心とし鉛直方向とクランクピンに挟まれた右回りの角度である。
各シリンダー横断図・右側面図

特徴

SUBARUとダイハツが軽自動車の4気筒エンジンをやめたので軽自動車の他、最近では1200ccぐらいまで3気筒が登場している。
慣性力は1次・2次ともバランスするが、偶力が発生するためカウンタウェイトをつけたり逆回転で回転するバランスシャフトを用いるエンジンがある。

各気筒の行程

下図は青が吸気バルブが開いている期間、赤が排気バルブが開いている期間を示している。グラフの左側の数字はシリンダ番号を示している。
排気干渉を起こさないのが特徴である。

1次慣性力

エンジンが1回転に回発生する成分で、 $cos \theta$ に係数を乗じたものである。
各気筒を合成した慣性力は下式となる。
$\displaystyle \cos \theta +\cos (\theta + \frac{2}{3} \pi ) + \cos (\theta + \frac{4}{3} \pi )$
以下の和積の公式を使用して、上式の2項と3項の和を求める。

$\displaystyle \cos a+\cos b=2 \cos (\frac{a+b}{2}) \cos (\frac{a-b}{2})$

2項と3項の和
$\displaystyle \cos (\theta+\frac{2}{3} \pi)+\cos (\theta+\frac{4}{3} \pi)=2 \cos (\frac{2 \theta + \frac{6}{3} \pi}{2}) \cos (\frac{ -\frac{2}{3} \pi}{2})$
$\displaystyle =2 \cos (\theta + \pi) \cos ( -\frac{1}{3} \pi)$
$=\cos (\theta + \pi)$
1項と2項と3項の和
$\cos \theta+\cos (\theta + \pi)=0$
以上の結果より1次慣性力はキャンセルされる。

2次慣性力

エンジンが1回転に2回発生する成分で、 $cos 2\theta$ に係数を乗じたものである。
各気筒を合成した慣性力は下式となる。
$\displaystyle \cos 2 \theta +\cos 2(\theta + \frac{2}{3} \pi ) + \cos 2(\theta + \frac{4}{3} \pi )$
2項と3項の和
$\displaystyle \cos 2(\theta+\frac{2}{3} \pi)+\cos 2(\theta+\frac{4}{3} \pi)=2 \cos ({2 \theta + \frac{6}{3} \pi) \cos ( -\frac{2}{3} \pi})$
$\displaystyle =2 \cos (2\theta) \cos ( -\frac{1}{3} \pi)$
$=-\cos 2 \theta$
1項と2項と3項の和
$\cos 2 \theta-\cos 2 \theta =0$
以上の結果より2次慣性力はキャンセルされる。

4次慣性力

エンジンが1回転に4回発生する成分で、 $cos 4\theta$ に係数を乗じたものである。
各気筒を合成した慣性力は下式となる。
$\displaystyle \cos 4 \theta +\cos 4(\theta + \frac{2}{3} \pi ) + \cos 4(\theta + \frac{4}{3} \pi )$
1項と2項と3項の和
$\displaystyle \cos 4(\theta+\frac{8}{3} \pi)+\cos 4(\theta+\frac{16}{3} \pi)=2 \cos ({4 \theta + 8 \pi) \cos ( -\frac{8}{3} \pi})$
$\displaystyle =2 \cos (4\theta ) \cos ( -\frac{1}{3} \pi)$
$=-\cos 4 \theta$
1項と2項と3項の和
$\cos 4 \theta-\cos 4 \theta=0$
以上の結果より4次慣性力はキャンセルされる。

6次慣性力

エンジンが1回転に6回発生する成分で、 $cos 6\theta$ に係数を乗じたものである。
各気筒を合成した慣性力は下式となる。
$\displaystyle \cos 6 \theta +\cos 6(\theta + \frac{2}{3} \pi ) + \cos 6(\theta + \frac{4}{3} \pi )$
1項と2項と和
$\displaystyle \cos 6(\theta+\frac{2}{3} \pi)+\cos 6(\theta+\frac{4}{3} \pi)=2 \cos ({6 \theta + 12 \pi) \cos ( -2 \pi})$
$=2 \cos 6\theta$
1項と2項と3項の和
$\cos 6 \theta+ 2 \cos 6 \theta =3 \cos 6 \theta$
以上の結果より6次慣性力は単気筒エンジンの3倍となる。
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
$\displaystyle F=M \frac{27 \omega^2 s}{16384 \lambda^5} \cos 6 \theta$
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

1次慣性偶力

直列3気筒エンジンはエンジンの前後方向が重心に対して対称に力が働かないため、エンジンが前後に動こうとする。
1気筒目が上に動く方向を+とすると重心に対して左回りが+となる、3気筒目は1気筒目と重心に対して逆方向なので符号を反対にする。
2気筒目はエンジンの中心であり、モーメントとして機能しないので無視する。
モーメントは、力×距離なので、ボアピッチをaとすると
各気筒のモーメントを合成すると下式となる。
$\displaystyle a \cos \theta - a \cos ( \theta - \frac{2}{3} \pi )$
以下の和積の公式を使用して、上式を変形する。

$\displaystyle \cos a-\cos b=-2 \sin (\frac{a+b}{2}) \sin(\frac{a-b}{2})$

$\displaystyle =-2a \sin \frac{2 \theta-\frac{2}{3} \pi}{2} \sin \frac{\frac{2}{3} \pi}{2}$
$\displaystyle =-2a \sin (\theta-\frac{1}{3} \pi )\sin \frac{1}{3} \pi$
$\displaystyle =-2a \frac{\sqrt 3}{2} \sin (\theta-\frac{1}{3} \pi )$
$\displaystyle =-a \sqrt 3 \sin (\theta-\frac{1}{3} \pi )$
上記の式よりエンジンの回転に合わせてエンジン前後が上がり下がりすることがわかる。
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
$\displaystyle -M \omega^2 \frac{S}{2} \sqrt 3 a \sin ( \theta -\frac{1}{3} \pi )$
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

2次慣性偶力

直列3気筒エンジンはエンジンの前後方向が重心に対して対称に力が働かないため、エンジンが前後に動こうとする。
1気筒目が上に動く方向を+とすると重心に対して左回りが+となる、3気筒目は1気筒目と重心に対して逆方向なので符号を反対にする。
2気筒目はエンジンの中心であり、モーメントとして機能しないので無視する。
モーメントは、力×距離なので、ボアピッチをaとすると
$\displaystyle a \cos 2\theta - a \cos 2( \theta - \frac{2}{3} \pi )$
$\displaystyle =-2a \sin \frac{4 \theta-\frac{4}{3} \pi}{2} \sin \frac{\frac{4}{3} \pi}{2}$
$\displaystyle =-2a \sin (2 \theta-\frac{2}{3} \pi )\sin \frac{2}{3} \pi$
$\displaystyle =-2a \frac{\sqrt 3}{2} \sin (2 \theta-\frac{2}{3} \pi )$
$\displaystyle =-a \sqrt 3 \sin (2 \theta-\frac{2}{3} \pi )$
上記の式よりエンジンの回転に合わせてエンジン前後が2倍の周期で上がり下がりすることがわかる。
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
$\displaystyle -M \omega^2 \frac{S}{2} (\frac{1}{2 \lambda} + \frac{1}{64 \lambda^3}+\frac{15}{4096 \lambda^5})\sqrt 3 a \sin (2 \theta -\frac{2}{3} \pi )$
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

ページのトップへ戻る

山本ワールド

歴代愛車

エンジン制御

自動車の仕組み