山本ワールド
V型2気筒(90度バンク)エンジンの慣性力・偶力
概要
特徴
各気筒の行程
1次慣性力
エンジンが1回転に1回発生する成分で、![cos \theta]()
に係数を乗じたものである。
αがバンク角の半分の角度、横方向の右側が正、左側が負、上下方向の上が正、下が負とする。 ピストンが傾いているため、三角関数により水平方向と鉛直方向に分解して検討する。 クランク角は時計の12時の方向から右回りとしθで表す。![a=\frac{1} {4}\pi]()
![\frac{1} { \sqrt {2}} \cos (\theta +a)+\frac{1} { \sqrt {2} } \cos (\theta -a)]()
![= \frac{1} { \sqrt {2}} \cos (\theta +\frac{1} {4}\pi)+\frac{1} { \sqrt {2} } \cos (\theta -\frac{1} {4}\pi)]()
![\displaystyle = \sqrt {2} \cos { \frac{\theta + \theta + \frac{1} {4}\pi- \frac{1} {4}\pi}{2}} \cos { \frac{\theta - \theta + \frac{1} {4}\pi+ \frac{1} {4}\pi}{2}}]()
![\displaystyle = \sqrt {2} \cos { \theta } \cos { \frac{1} {4}\pi}]()
![\displaystyle = \cos { \theta }]()
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
![F=\frac{1} { 2 } M \omega^2 s \cos { \theta }]()
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
![\frac{1} { \sqrt {2}} \cos (\theta -a)-\frac{1} { \sqrt {2} } \cos (\theta +a)]()
![= \frac{1} { \sqrt {2}} \cos (\theta -\frac{1} {4}\pi)-\frac{1} { \sqrt {2} } \cos (\theta +\frac{1} {4}\pi)]()
![\displaystyle =- \sqrt 2 \sin { \frac{\theta + \theta + \frac{1} {4}\pi- \frac{1} {4}\pi}{2}} \sin { \frac{\theta - \theta - \frac{1} {4}\pi- \frac{1} {4}\pi}{2}}]()
![\displaystyle =- \sqrt 2 \sin { \theta } \sin { ( -\frac{1} {4}\pi )}]()
![\displaystyle = \sin { \theta }]()
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
![F=\frac{1} { 2 } M \omega^2 s \sin { \theta }]()
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
αがバンク角の半分の角度、横方向の右側が正、左側が負、上下方向の上が正、下が負とする。 ピストンが傾いているため、三角関数により水平方向と鉛直方向に分解して検討する。 クランク角は時計の12時の方向から右回りとしθで表す。
鉛直方向（バランスウェイト無しの場合）
各気筒を鉛直方向に合成した慣性力は下式となる。実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
水平方向（バランスウェイト無しの場合）
各気筒を水平方向に合成した慣性力は下式となる。実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
バランスウェイト有りの場合
オーバーバランスが100%のバランスウェイトを1気筒につけるとピストンの上下方向は完全に釣りあい、左右方向に同様の慣性力が新たに発生する。 V型2気筒でオーバーバランスが100%の場合、左右に発生した慣性力がもう一方の気筒と釣り合うため、1次慣性力が打ち消しあう。 一般にV型2気筒でバンク角が90度の場合、1次慣性力が発生しないといわれるのは、オーバーバランスが100%のバランスウェイトをつけた状態であり、たとえばV型で4気筒以上のバンク角90度のエンジンではオーバーバランスが100%のウェイトはつけないため、2気筒を取り出すと1次慣性力は発生しているが、エンジン全体で打ち消しあっていることになっている。2次慣性力
エンジンが1回転に2回発生する成分で、![cos 2 \theta]()
に係数を乗じたものである。
![\frac{1} { \sqrt {2}} \cos 2(\theta +a)+\frac{1} { \sqrt {2} } \cos 2(\theta -a)]()
![= \frac{1} { \sqrt {2} }\cos (2 \theta +\frac{1} {2}\pi)+\frac{1} { \sqrt {2} } \cos (2 \theta -\frac{1} {2}\pi)]()
![\displaystyle = \sqrt {2} \cos { \frac{2 \theta + 2 \theta + \frac{1} {2}\pi- \frac{1} {2}\pi}{2}} \cos { \frac{2
\theta - 2 \theta + \frac{1} {2}\pi+ \frac{1} {2}\pi}{2}}]()
![\displaystyle = \sqrt {2} \cos { 2 \theta } \cos { \frac{1} {2}\pi}]()
![\displaystyle = 0]()
左右のシリンダにより打ち消しあう。
![\frac{1} { \sqrt {2}} \cos 2(\theta -a)-\frac{1} { \sqrt {2} } \cos 2(\theta +a)]()
![= \frac{1} { \sqrt {2}} \cos 2(\theta -\frac{1} {4}\pi)-\frac{1} { \sqrt {2} } \cos 2(\theta +\frac{1} {4}\pi)]()
![\displaystyle =-\sqrt {2} \sin { \frac{2 \theta + 2 \theta + \frac{1} {2}\pi- \frac{1} {2}\pi}{2}} \sin { \frac{2 \theta - 2 \theta - \frac{1} {2}\pi- \frac{1} {2}\pi}{2}}]()
![\displaystyle =-\sqrt {2} \sin { 2 \theta } \sin { ( -\frac{1} {2}\pi )}]()
![\displaystyle = \sqrt {2} \sin { 2 \theta }]()
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
![F=\frac{1} { \sqrt 2 } M \omega^2 s \sin { \theta }]()
![\displaystyle F= M \frac{\omega^2 S}{\sqrt{2}} (\frac{1}{2 \lambda^3}+\frac{1}{64 \lambda^3}+\frac{15}{4096 \lambda^5}) a \sin 2 \theta]()
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
鉛直方向（バランスウェイト無しの場合）
各気筒を鉛直方向に合成した慣性力は下式となる。左右のシリンダにより打ち消しあう。
水平方向（バランスウェイト無しの場合）
各気筒を水平方向に合成した慣性力は下式となる。実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
4次慣性力
エンジンが1回転に4回発生する成分で、![cos 4 \theta]()
に係数を乗じたものである。
![\frac{1} { \sqrt {2}} \cos 4( \theta+ \frac{1}{4} \pi)+\frac{1} { \sqrt {2}}\cos 4(\theta - \frac{1}{4} \pi)=\frac{1} { \sqrt {2}} \cos (4 \theta+\pi) +\frac{1} { \sqrt {2}}\cos ( 4 \theta -\pi)]()
![\displaystyle =\sqrt {2} \cos { \frac{4 \theta + 4 \theta + \pi- \pi}{2}} \cos { \frac{4 \theta - 4 \theta - \pi- \pi}{2}}]()
![\displaystyle =\sqrt {2} \cos { 4 \theta } \cos {( - \pi)}]()
![\displaystyle =-\sqrt {2} \cos { 4 \theta }]()
以上の結果より4次慣性力は単気筒の2倍となる。
実際の慣性力の値は、以下のとおりである。
![\displaystyle F=-\sqrt {2} M \omega^2 S (\frac{1}{32 \lambda^3}+\frac{3}{1024 \lambda^5})\cos 4 \theta]()
M:往復質量/気筒 S:ストローク ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
![\frac{1} { \sqrt {2}}\cos 4( \theta+ \frac{1}{4} \pi)-\frac{1} { \sqrt {2}}\cos 4(\theta - \frac{1}{4} \pi)= \frac{1} { \sqrt {2}}\cos (4 \theta+\pi)-\frac{1} { \sqrt {2}} \cos ( 4 \theta -\pi)]()
![\displaystyle =-\sqrt {2} \sin { \frac{4 \theta + 4 \theta + \pi- \pi}{2}} \sin { \frac{4 \theta - 4 \theta - \pi- \pi}{2}}]()
![\displaystyle =-\sqrt {2} \sin { 4 \theta } \sin {( - \pi)}]()
![\displaystyle =0]()
左右のシリンダにより打ち消しあう。
鉛直方向（バランスウェイト無しの場合）
各気筒を合成した慣性力は下式となる。以上の結果より4次慣性力は単気筒の2倍となる。
実際の慣性力の値は、以下のとおりである。
M:往復質量/気筒 S:ストローク ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
水平方向（バランスウェイト無しの場合）
各気筒を水平方向に合成した慣性力は下式となる。左右のシリンダにより打ち消しあう。
6次慣性力
エンジンが1回転に6回発生する成分で、![cos 6\theta]()
に係数を乗じたものである。
![\frac{1} { \sqrt {2}} \cos 6 (\theta+ \frac{1}{4} \pi) +\frac{1} { \sqrt {2}}\cos 6(\theta - \frac{1}{4} \pi)=\frac{1} { \sqrt {2}}\cos (6 \theta +\frac{3}{2} \pi)+\frac{1} { \sqrt {2}}\cos (6 \theta - \frac{3}{2} \pi)]()
![\displaystyle =\sqrt {2} \cos { \frac{6 \theta + 6 \theta + \frac{3}{2}\pi- \frac{3}{2}\pi}{2}} \cos { \frac{6 \theta - 6 \theta - \frac{3}{2}\pi- \frac{3}{2}\pi}{2}}]()
![\displaystyle =\sqrt {2} \cos { 6 \theta } \cos {( - \frac{3}{2}\pi)}]()
![\displaystyle =0]()
左右のシリンダにより打ち消しあう。![\frac{1} { \sqrt {2}}\cos 6 (\theta+ \frac{1}{4} \pi) -\frac{1} { \sqrt {2}}\cos 6(\theta - \frac{1}{4} \pi)=\frac{1} { \sqrt {2}}\cos (6 \theta +\frac{3}{2} \pi)+\frac{1} { \sqrt {2}}\cos (6 \theta - \frac{3}{2} \pi)]()
![\displaystyle =-\sqrt {2} \sin { \frac{6 \theta + 6 \theta + \frac{3}{2}\pi- \frac{3}{2}\pi}{2}} \sin { \frac{6 \theta - 6 \theta - \frac{3}{2}\pi- \frac{3}{2}\pi}{2}}]()
![\displaystyle =-\sqrt {2} \sin { 6 \theta } \sin {( - \frac{3}{2}\pi)}]()
![\displaystyle =\sqrt {2} \sin { 6 \theta }]()
以上の結果より6次慣性力は単気筒の2倍となる。
実際の慣性力の値は、以下のとおりである。
![\displaystyle F=-\frac{1}{\sqrt {2}} M \omega^2 S \frac{9}{8192 \lambda^5}\cos 6 \theta]()
M:往復質量/気筒 S:ストローク ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
鉛直方向（バランスウェイト無しの場合）
各気筒を合成した慣性力は下式となる。左右のシリンダにより打ち消しあう。
水平方向（バランスウェイト無しの場合）
以上の結果より6次慣性力は単気筒の2倍となる。
実際の慣性力の値は、以下のとおりである。
M:往復質量/気筒 S:ストローク ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
1次慣性偶力
1気筒と2気筒の中間をエンジンの中心とする。
2気筒目は、1気筒目に対して逆方向なので、距離はマイナス表記にする。
鉛直方向の上を+方向とする。
モーメントは、力×距離なので、バンクオフセットをbとすると
![\displaystyle \frac{b}{2} \frac{1} { \sqrt {2}} \cos (\theta+ \frac{1} {4} \pi) - \frac{b}{2} \frac{1} { \sqrt {2}} \cos ( \theta - \frac{1} {4} \pi )]()
![\displaystyle =-\frac{b}{ \sqrt {2}} \sin { \frac{ \theta + \theta + \frac{1}{4}\pi- \frac{1}{4}\pi}{2}} \sin { \frac{ \theta - \theta - \frac{1}{4}\pi- \frac{1}{4}\pi}{2}}]()
![\displaystyle =-\frac{b}{ \sqrt {2}} \sin { \theta } \sin ({-\frac{1}{4}\pi)}]()
![\displaystyle =\frac{b}{2}\sin { \theta }]()
上記の式よりエンジンの回転に合わせてエンジン前後が上がり下がりすることがわかる。
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
![\displaystyle -M \omega^2 \frac{S}{4} b \sin (\theta)]()
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
![\displaystyle \frac{b}{2} \frac{1} { \sqrt {2}} \cos (\theta+ \frac{1} {4} \pi) +\frac{b}{2} \frac{1} { \sqrt {2}} \cos ( \theta - \frac{1} {4} \pi )]()
![\displaystyle =-\frac{b}{ \sqrt {2}} \cos { \frac{ \theta + \theta + \frac{1}{4}\pi- \frac{1}{4}\pi}{2}} \cos { \frac{ \theta - \theta - \frac{1}{4}\pi- \frac{1}{4}\pi}{2}}]()
![\displaystyle =\frac{b}{ \sqrt {2}} \cos { \theta } \cos ({-\frac{1}{4}\pi)}]()
![\displaystyle =\frac{b}{2}\cos { \theta }]()
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
![\displaystyle -M \omega^2 \frac{S}{4} b \cos (\theta)]()
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
鉛直方向（バランスウェイト無しの場合）
各気筒のモーメントを合成すると下式となる。上記の式よりエンジンの回転に合わせてエンジン前後が上がり下がりすることがわかる。
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
水平方向（バランスウェイト無しの場合）
1気筒と2気筒の中間をエンジンの中心とする。 2気筒目は、1気筒目に対して逆方向なので、距離はマイナス表記にする。 2気筒目は、1気筒目に対して水平方向が逆なので力はマイナス表記にする。 鉛直方向の上を+方向とする。 各気筒のモーメントを合成すると下式となる。実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
2次慣性偶力
1気筒と2気筒の中間をエンジンの中心とする。
2気筒目は、1気筒目に対して逆方向なので、距離はマイナス表記にする。
鉛直方向の上を+方向とする。
モーメントは、力×距離なので、バンクオフセットをbとすると
![\displaystyle \frac{b}{2} \frac{1} { \sqrt {2}} \cos 2(\theta+- \frac{1} {4} \pi) - \frac{b}{2} \frac{1} { \sqrt {2}} \cos 2( \theta - \frac{1} {4} \pi )]()
![\displaystyle =-\frac{b}{ \sqrt {2}} \sin { \frac{ 2\theta + 2\theta + \frac{1}{2}\pi- \frac{1}{2}\pi}{2}} \sin { \frac{2 \theta - 2\theta - \frac{1}{4}\pi- \frac{1}{2}\pi}{2}}]()
![\displaystyle =-\frac{b}{ \sqrt {2}} \sin { 2\theta } \sin ({-\frac{1}{2}\pi)}]()
![\displaystyle =\frac{b}{2}\sin { 2 \theta }]()
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
![\displaystyle M \omega^2 \frac{S}{4} (\frac{1}{2 \lambda} + \frac{1}{64 \lambda^3}+\frac{15}{4096 \lambda^5}) b \sin 2 \theta]()
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
![\displaystyle \frac{b}{2} \frac{1} { \sqrt {2}} \cos 2(\theta+- \frac{1} {4} \pi) + \frac{b}{2} \frac{1} { \sqrt {2}} \cos 2( \theta - \frac{1} {4} \pi )]()
![\displaystyle =\frac{b}{ \sqrt {2}} \cos { \frac{ 2\theta + 2\theta + \frac{1}{2}\pi- \frac{1}{2}\pi}{2}} \cos { \frac{2 \theta - 2\theta - \frac{1}{2}\pi- \frac{1}{2}\pi}{2}}]()
![\displaystyle =\frac{b}{ \sqrt {2}} \cos { 2\theta } \cos ({-\pi)}]()
![\displaystyle =\frac{b}{ \sqrt{2}}\cos { 2\theta }]()
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
![\displaystyle M \omega^2 \frac{S}{2 \sqrt{2}} (\frac{1}{2 \lambda} + \frac{1}{64 \lambda^3}+\frac{15}{4096 \lambda^5}) b \sin 2 \theta]()
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
鉛直方向（バランスウェイト無しの場合）
各気筒のモーメントを合成すると下式となる。実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm
水平方向（バランスウェイト無しの場合）
1気筒と2気筒の中間をエンジンの中心とする。 2気筒目は、1気筒目に対して逆方向なので、距離はマイナス表記にする。 2気筒目は、1気筒目に対して水平方向が逆なので力はマイナス表記にする。 鉛直方向の上を+方向とする。 各気筒のモーメントを合成すると下式となる。実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm