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計算手順

以下のとおりである。 なお、日の出と南中時刻・日の入り時刻は、高度が0の時の時刻であるが、簡単には計算できないので、6時と12時・18時を初期値として、反復して近似値を算定する。
日の出と日の入りは、仮定時刻から時角を算出し、元の時角の差分値で補正して再度計算し、時角の差が所要以内に収まるまで反復する。
南中時刻は、時角が0になるまで反復する。以下に示す式の三角関数の角度は度であるが、プログラミング言語の三角関数の標準はラジアン単位であるので注意されたい。
精度は、2022年の天文年鑑と比べると日の出は1分程、日の入りは3分程遅れて計算される。

J2000.0 K経過ユリウス年の計算(T)

天文学で使われ西暦2000年1月1日　12:00からの年数を示す。
なお、1月と2月は前年の13月と14月に換算する。P72
$K = 365Y + 30 \times M + D - 33.875 - I / 24 + \left| 3 (M + 1) / 5 \right| + \left| Y / 4 \right|+ 64/ 86400$
$T = K/365.25$

恒星時を算出(Θ)

$Θ = 325.4606 + 360.007700536 t + 0.00000003879 t^2 - 15 i +l+ 360 d$

太陽の位置の距離r

P71
$r = (0.007256 - 0.0000002 t) \times sin(267.54 + 359.991 t)$
$+ 0.000091 \times \sin(265.1 + 719.98 t)$
$+ 0.000030 \times \sin( 90.0)$
$+ 0.000013 \times \sin( 27.8 + 4452.67 t)$
$+ 0.000007 \times \sin(254 + 450.4 t)$
$+ 0.000007 \times \sin(156 + 329.6 t)$
$r =10^r$

太陽黄緯(λs)

地球の公転面と直角方向を緯度とし、公転方向を経緯と表す。P71
$l = 280.4603 + 360.00769 t$
$+ (1.9146 - 0.00005 t) \times \sin(357.538 + 359.991 t)$
$+ 0.0200 \times \sin(355.05 + 719.981 t)$
$+ 0.0048 \times \sin(234.95 + 19.341 t)$
$+ 0.0020 \times \sin(247.1 + 329.640 t)$
$+ 0.0018 \times \sin(297.8 + 4452.67 t)$
$+ 0.0018 \times \sin(251.3 + 0.20 t)$
$+ 0.0015 \times \sin(343.2 + 450.37 t)$
$+ 0.0013 \times \sin( 81.4 + 225.18 t)$
$+ 0.0008 \times \sin(132.5 + 659.29 t)$
$+ 0.0007 \times \sin(153.3 + 90.38 t)$
$+ 0.0007 \times \sin(206.8 + 30.35 t)$
$+ 0.0006 \times \sin( 29.8 + 337.18 t)$
$+ 0.0005 \times \sin(207.4 + 1.50 t)$
$+ 0.0005 \times \sin(291.2 + 22.81 t)$
$+ 0.0004 \times \sin(234.9 + 315.56 t)$
$+ 0.0004 \times \sin(157.3 + 299.30 t)$
$+ 0.0004 \times \sin( 21.1 + 720.02 t)$
$+ 0.0003 \times \sin(352.5 + 1079.97 t)$
$+ 0.0003 \times \sin(329.7 + 44.43 t)$

赤経α

P74 $ε = 23.439291 - 0.000130042 t$
$α = \tan^{-1}(\tan λs \times \cos ε)$

赤緯δ

P74 $ε = 23.439291 - 0.000130042 t$
$δ= \sin^{-1}(\sin(λs) \times \sin(ε))$

高度h

P77 $h = \sin^{-1}(sin(δ) \times sin(φ)-cos(δ) \times cos(φ) \times cos(Θ-α))$

方位

P77 $t = Θ-α$
$dc = - \cos(δ) \sin(t)$
$dm = \sin(δ) \cos(φ) - \cos(δ) \sin(φ) \cos(t)$
$A = \tan^{-1}(dc / dm)$

出没高度(k)

上記は地球の中心及び太陽の中心で計算しているため角度の補正を行う。
P17 k=-S-E-R+Π

太陽の視半径(S)

太陽の見かけの大きさを観測点からの角度で表したものである。
太陽からの距離により見かけの大きさが変わるので距離(AU)が必要である。
$S =-16'1''.18/60/r= -0.266994/r$

見かけの地平線・大気の屈折効果(E)

標高の高い場所から観測すると遠くが見え地平線以下の太陽が観測できる。
大気屈折による屈折効果も影響する。
標高をH(m)とすると。
$Π = (2'.12/60) \sqrt{H}=0.035333333 \sqrt{H}$

大気差(R)

大気により光が屈折するため地平線以下の景色が見える。
$R= 0.585555$

赤道地平線視差(Π)

地球の半径により中心より高い位置から観測しているため日の出は早く見える。
$Π = 8''.794148/60/r=0.0024428/r$

時角

経度を360度=24時間で表したものである。15度=1時間である。
$tk=\cos^{-1} \frac{ \sin k -\sin δ \sin φ }{ \cos δ \cos φ }$

引用書籍

日の出と日の入りの計算 初版第5刷（著作　長沢　工,地人書館）

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