山本ワールド

三角形の外接円の算定

3点を通る円の方程式に必要な中心座標と半径を外接円より算出します。
以下の入力フォームに3点の座標をを入力し計算ボタンをクリックすると円の方程式を求めます。

x1,y1 x2,y2 x3,y3=

ここでは、円の方程式を使用せずに、コンパスと定規で作図する方法に準じて、2辺それぞれの垂直二等分線の交点から円の中心を求めます。
計算過程と三角形及び外接円(赤線）と中心（赤点）及び垂直二等分線（青線）を図示します。
y座標は数学と異なり下向きが正となります。
三角形の各頂点の数字は頂点番号です。

SVGソース

円=
円弧B(青)
円弧A(青)
円弧D(赤)
円弧C(赤)

円の中心の座標（赤点） 4.5 , 2.5 半径 3.5355339059327378
頂点1の水平線からの右回りの角度 188.13010235415598 度
頂点2の水平線からの右回りの角度 98.130102354156 度
頂点3の水平線からの右回りの角度 225 度
青線は垂直二等分線

x1,y1とx2,y2を結ぶ線分の垂直二等分線の式</3>

x1,y1とx2,y2を結ぶ線分の傾き

\(\displaystyle \frac{y2-y1}{x2-x1}\)

垂直二等分線の傾き

先ほどの線分の傾きの逆数を求め符号を逆にすれば求まる。
\(\displaystyle a1=-\frac{x2-x1}{y2-y1}=\frac{4-1}{6-2}=-0.75\)

垂直二等分線の切片

垂直二等分線はx1,y1とx2,y2の中間点を通るので
\(\displaystyle b1=\frac{y2+y1}{2}-a1 \frac{x2+x1}{2}=\frac{6+2}{2}--0.75\frac{4+1}{2}=5.875\)

まとめ

垂直二等分線は以下の式となる。
\(y=a1 \cdot x+b1=-0.75x+5.875\)

x2,y2とx3,y3を結ぶ線分の垂直二等分線の式

垂直二等分線の傾き

先ほどの線分の傾きの逆数を求め符号を逆にすれば求まる。
\(\displaystyle a2=-\frac{x3-x2}{y3-y2}=\frac{2-4}{0-6}=-0.3333333333333333\)

垂直二等分線の切片

垂直二等分線はx2,y2とx3,y3の中間点を通るので
\(b2=\displaystyle \frac{y3+y2}{2}-a2 \frac{x3+x2}{2}=\frac{0+6}{2}--0.3333333333333333\frac{2+4}{2}=4\)

まとめ

垂直二等分線は以下の式となる。
\(y=a2 \cdot x+b2=-0.3333333333333333x+4\)

二つの垂直二等分線の交点(円の中心)

二つの垂直二等分線の交点を連立方程式により解く。
\(a1 \cdot x+b1=a2 \cdot x+b2\)
\(a1 \cdot x-a2 \cdot= x+b2-b1\)
\(\displaystyle cx= \frac{b2-b1}{a1-a2}=\frac{4-5.875}{-0.75--0.3333333333333333}=4.5\)
\(cy=a1 \cdot cx+b1=-0.75 \times 4.5=2.5\)

円の半径の算出

\(r=\sqrt{ (x1-cx)^2+(y1-cy)^2 }=\sqrt{(1-4.5)^2+(2-2.5)^2}=3.5355339059327378\)